Die cases-Umgebung aus dem amsmath-Paket

Die cases-Umgebung aus dem amsmath-Paket wird verwendet, um stückweise definierte Funktionen oder Fallunterscheidungen in mathematischen Ausdrücken übersichtlich darzustellen. Diese Umgebung sorgt dafür, dass die Fälle linksbündig untereinander und von einer geschweiften Klammer eingefasst sind.

Einbindung des amsmath-Pakets

Um die cases-Umgebung zu nutzen, muss das amsmath-Paket in der Präambel des Dokuments eingebunden werden:

\usepackage{amsmath}

Verwendung

Die cases-Umgebung wird folgendermaßen verwendet:

\begin{cases}
    Ausdruck & Bedingung \\
    Ausdruck & Bedingung \\
\end{cases}

Jeder Fall wird in einer neuen Zeile geschrieben, wobei der Ausdruck und die Bedingung durch ein &-Zeichen getrennt werden. Die Zeilen enden mit \\.

Beispiele

1. Einfache stückweise definierte Funktion:

f(x) =
\begin{cases}
    x^2 & \text{wenn } x \geq 0 \\
    -x & \text{wenn } x < 0
\end{cases}

In diesem Beispiel wird die Funktion $ f(x) $ definiert, die $ x^2 $ ergibt, wenn $x \geq 0$ ist, und $-x$, wenn $x < 0$ ist.

$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{wenn } x \geq 0 \\ -x & \text{wenn } x < 0 \end{cases} $

1. Komplexere stückweise definierte Funktion:

g(x) =
\begin{cases}
    x^2 & \text{wenn } x > 1 \\
    2x + 1 & \text{wenn } -1 \leq x \leq 1 \\
    -x^2 + 2 & \text{wenn } x < -1
\end{cases}

Hier wird die Funktion $g(x)$ definiert, die je nach Bereich von $x$ verschiedene Ausdrücke annimmt.

$ g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{wenn } x > 1 \\ 2x + 1 & \text{wenn } -1 \leq x \leq 1 \\ -x^2 + 2 & \text{wenn } x < -1 \end{cases} $

Eigenschaften und Formatierung

• Ausrichtung: Die Ausdrücke in der cases-Umgebung sind linksbündig untereinander angeordnet, wobei die Bedingungen rechts von den Ausdrücken stehen.
• Große geschweifte Klammer: Die linke Seite der cases-Umgebung ist mit einer großen geschweiften Klammer versehen, die alle Fälle zusammenfasst.
• Textmodus in Bedingungen: Die Bedingungen werden oft im Textmodus (\text{}) gesetzt, um eine saubere Darstellung zu gewährleisten, insbesondere wenn Wörter oder Sätze enthalten sind.

Zusammenfassung

Die cases-Umgebung aus dem amsmath-Paket ist ein wesentliches Werkzeug in LaTeX zur Darstellung von stückweise definierten Funktionen oder Fallunterscheidungen.

Beispiele

Beispiel 1: Einfaches Beispiel

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

Die Funktion \( f(x) \) ist definiert als:
\[
f(x) =
\begin{cases}
    x^2 & \text{wenn } x \geq 0 \\
    -x & \text{wenn } x < 0
\end{cases}
\]

\end{document}

Dieses Beispiel zeigt die stückweise definierte Funktion $f(x)$ mit zwei Fällen.

Beispiel 2: Komplexes Beispiel

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

Die Funktion \( g(x) \) ist definiert als:
\[
g(x) =
\begin{cases}
    x^2 & \text{wenn } x > 1 \\
    2x + 1 & \text{wenn } -1 \leq x \leq 1 \\
    -x^2 + 2 & \text{wenn } x < -1
\end{cases}
\]

\end{document}

In diesem Beispiel wird die Funktion $g(x)$ mit drei verschiedenen Fällen gezeigt, die je nach Bereich von $x$ unterschiedliche Ausdrücke annehmen.